Zadanie 1. Współczynniki równania kwadratowego : tworzą ciąg arytmetyczny o sumie równej 24. Jednym z pierwiastków tego równania jest liczba - . Oblicz a,b,c oraz drugi pierwiastek równania.
Zadanie 2. Spośród ciągów o wyrazie ogólnym , wybierz ten który ma granicę równą 4.
a) przy wyznaczonej wartości k zbadaj monotoniczność ciągu ( )
b) wykaż, że każdy z pozostałych ciągów rodziny ciągów ( ) ma granicę mniejszą od liczby 4. Udowodnij korzystając z definicji granicy ciągu, że liczba 4 jest granicą wybranego ciągu.
Zadanie 3. Znajdź wzór na wyraz ogólny i oblicz sumę n-początkowych wyrazów ciągu : . Narysuj wykres tego ciągu oraz zbadaj jego monotoniczność.
Zadanie 4. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym . Uzasadnij, że jest to ciąg geometryczny. Dla jakich p jest on malejący.
Zadanie 5. Oblicz sumę nieskończonego ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz . Iloraz ciągu q jest elementem zbioru gdzie a zbiór B jest dziedziną funkcji
Zadanie 6. Dany jest trójkąt równoboczny T1 o boku długości a. W ten trójkąt wpisujemy trójkąt T2 w taki sposób, że każdy wierzchołek trójkąta T2 jest środkiem boku trójkąta T1. W trójkąt T2 wpisujemy w analogiczny sposób T3, itd.
a) oblicz pole T10
b) Oblicz sumę pól wszystkich tak powstałych trójkątów .
Zadanie 7. Ciąg jest nieskończonym ciągiem geometrycznym zbieżnym. Suma jego wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 5, a suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 2. Wyznacz ten ciąg.
Zadanie 8. Rozwiąż równania i nierówności :
a)
b)
c)
d)
Zadanie 9. Zamień na ułamki zwykłe : 0,(6) ; 1,(02) ; 4,30(1)
Zadanie 10. Pracodawca zatrudniając pracownika do wykonania pewnej pracy, którą należy wykonać w ciągu 10 dni, zaproponował dwa rodzaje umowy. Umowa I: Pierwszego dnia pracownik ma otrzymać k- złotych, a w każdym następnym dniu, do płacy z dnia poprzedniego, pracodawca będzie dopłacał mu 10% płacy z pierwszego dnia. Umowa II: Pierwszego dnia pracownik miałby otrzymać 2% tego, co pierwszego dnia w umowie I, a za każdy następny dzień dwa razy więcej. Którą z proponowanych umów pracownik powinien wybrać?. Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 11. a)W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an) czwarty wyraz jest równy 4007, a siódmy 7004. O nieskończonym ciągu geometrycznym (bn) wiadomo, że jest monotoniczny, jego trzeci wyraz jest równy 1,25 i suma trzech pierwszych jego wyrazów jest równa 8,75. Z wyrazów ciągów (an) i (bn) utworzono nowy ciąg o wyrazie ogólnym . Oblicz granicę (cn).
c) Oblicz
Zadanie 11. Dany jest ciąg ,którego . Zbadaj monotoniczność tego ciągu.
Zadanie 12. Dla jakich parametrów m rozwiązaniem układu równań jest trójka liczb x,y,z tworzących ciąg arytmetyczny. Znajdź to rozwiązanie.
Zadanie 13. Lewa strona równania 1+4+7+10+... = 117 jest n – tą sumą częściową ciągu arytmetycznego. Oblicz n-ty wyraz tego ciągu.
Zadanie 14. Wartość użytkowa pewnej maszyny maleje z roku na rok w ciągu arytmetycznym. Oblicz czas, w ciągu którego maszyna straci całkowitą wartość użytkową, jeżeli wiadomo, że jej wartość po 25 latach była trzy razy mniejsza, niż jej wartość po 15 latach.
Zadanie 15. w kwadrat o danym boku a wpisujemy drugi kwadrat w ten sposób, że jego wierzchołki są środkami boków danego kwadratu. W drugi kwadrat wpisujemy w taki sam sposób kwadrat trzeci , i tak dalej. Wykaż, że ciąg obwodów kolejnych kwadratów jest ciągiem geometrycznym. Ciąg pól kolejnych kwadratów jest ciągiem geometrycznym.
Zadanie 16. Z miast odległych o 119 km. wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj kolarze, przy czym drugi kolarz startuje w dwie godziny po wyjeździe pierwszego. Pierwszy kolarz przebywa w ciągu pierwszej godziny 20 km. , a w każdej następnej o 2 km mniej niż w poprzedniej . Drugi kolarz przebywa w pierwszej godzinie 10 km, a w każdej następnej godzinie o 3 km więcej niż w poprzedniej. Po ilu godzinach spotkają się kolarze i w jakiej odległości od miasta B.
wtorek, 4 listopada 2008
1. Dla jakich wartości parametru k suma kwadratów pierwiastków równania jest najmniejsza .
2. Dane jest równanie kwadratowe : oraz układ POQ współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie.
Wyznacz zbiór punktów płaszczyzny POQ, dla których dane równanie
(a) ma pierwiastki równe
(b) ma pierwiastki różne
(c) nie ma pierwiastków
(d) ma jeden pierwiastek dwa razy większy od drugiego
3. Wykazać, że jeśli równanie , ma pierwiastki to równanie ma również
pierwiastki.
4. Wykazac, że jeśli współczynniki równania kwadratowego są liczbami całkowitymi nieparzystymi to
równanie to nie ma pierwiastków wymiernych.
5. Dane jest równanie .
(a) znajdź wzór funkcji . Gdzie i są pierwiastkami równania. Ustal dziedzinę i zbiór wartości,
oraz sporządź wykres
(b) podaj wszystkie wartości m dla których dane równanie ma dwa pierwiastki i oba w przedziale albo
6. Dla jakich wartości parametru a prosta przechodząca przez punkt przecina parabolę
w dwóch punktach o dodatnich odciętych ?
7. Dla jakich wartości parametru m rozwiązania równania spełniają warunek
8. Dla jakiej wartości m odwrotność sumy kwadratów pierwiastków równania jest największa ?
9. Dane jest równanie
(a) wyraź iloczyn pierwiastków tego równania jako funkcje zmiennej m i oznacz ją przez f(m)
(b) Dla jakich wartości m funkcja ta jest określona ?
(c) Dla jakich wartości m funkcja f(m) osiąga minimum ?
(d) Wyznacz pierwiastki równania tak aby ich iloczyn był najmniejszy
10. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale
11. Dla jakich rzeczywistych wartości parametru p równanie posiada
dokładnie trzy różne rozwiązania rzeczywiste, z których jedno jest średnią arytmetyczną pozostałych ?
12. .Dana jest funkcja : . Przedstaw w układzie współrzędnych:
a) zbiór punktów (a,b) dla których funkcja f jest malejąca dla i rosnąca dla
b) zbiór punktów (a,b) dla których funkcja jest malejąca w przedziale
c) zbiór punktów (a,b) dla których dziedziną funkcji f jest zbiór R
d) zbiór punktów (a,b) dla których dziedziną funkcji f jest R+
2. Dane jest równanie kwadratowe : oraz układ POQ współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie.
Wyznacz zbiór punktów płaszczyzny POQ, dla których dane równanie
(a) ma pierwiastki równe
(b) ma pierwiastki różne
(c) nie ma pierwiastków
(d) ma jeden pierwiastek dwa razy większy od drugiego
3. Wykazać, że jeśli równanie , ma pierwiastki to równanie ma również
pierwiastki.
4. Wykazac, że jeśli współczynniki równania kwadratowego są liczbami całkowitymi nieparzystymi to
równanie to nie ma pierwiastków wymiernych.
5. Dane jest równanie .
(a) znajdź wzór funkcji . Gdzie i są pierwiastkami równania. Ustal dziedzinę i zbiór wartości,
oraz sporządź wykres
(b) podaj wszystkie wartości m dla których dane równanie ma dwa pierwiastki i oba w przedziale albo
6. Dla jakich wartości parametru a prosta przechodząca przez punkt przecina parabolę
w dwóch punktach o dodatnich odciętych ?
7. Dla jakich wartości parametru m rozwiązania równania spełniają warunek
8. Dla jakiej wartości m odwrotność sumy kwadratów pierwiastków równania jest największa ?
9. Dane jest równanie
(a) wyraź iloczyn pierwiastków tego równania jako funkcje zmiennej m i oznacz ją przez f(m)
(b) Dla jakich wartości m funkcja ta jest określona ?
(c) Dla jakich wartości m funkcja f(m) osiąga minimum ?
(d) Wyznacz pierwiastki równania tak aby ich iloczyn był najmniejszy
10. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale
11. Dla jakich rzeczywistych wartości parametru p równanie posiada
dokładnie trzy różne rozwiązania rzeczywiste, z których jedno jest średnią arytmetyczną pozostałych ?
12. .Dana jest funkcja : . Przedstaw w układzie współrzędnych:
a) zbiór punktów (a,b) dla których funkcja f jest malejąca dla i rosnąca dla
b) zbiór punktów (a,b) dla których funkcja jest malejąca w przedziale
c) zbiór punktów (a,b) dla których dziedziną funkcji f jest zbiór R
d) zbiór punktów (a,b) dla których dziedziną funkcji f jest R+
1. Zbadaj liczbę rozwiązań równania : w zależności od parametru . Narysuj
wykres funkcji przyporządkowującej każdej rzeczywistej wartości m ilość rozwiązań powyższego równania.
2. Zbadaj liczbę rozwiązań równania : . Narysuj wykres funkcji h(m), która to
przyporządkowuje każdemu rzeczywistemu m podwojoną liczbę rozwiązań.
3. Znajdź zbiór rozwiązań nierówności w zależności od parametru m .
4. Zbadać liczbę pierwiastków równania : , w zależności od wartości parametru k.
5. Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych :
6. Dla jakich wartości k zbiorem wartości funkcji : jest zbiór
7. Zbadaj liczbę rozwiązań w zależności od parametru p :
8. Zbadaj dla jakich wartości parametru m wartości funkcji :
są dla każdego x mniejsze od odpowiednich wartości funkcji ?
9. Narysuj wykres funkcji . Odczytaj z wykresu ilość rozwiązań równania w zależności od
wartości parametru m.
10. Sprawdź czy istnieje takie k, dla którego iloczyn kwadratów pierwiastków równania :
jest równy sumie tych pierwiastków.
11. Funkcja kwadratowa osiąga wartość najmniejszą równą - 4 dla argumentu 6, a liczba 2 jest
miejscem zerowym funkcji . Wykres funkcji liniowej jest prostopadły do prostej o równaniu
i przechodzi przez punkt .
a) wyznacz wzór funkcji w postaci kanonicznej oraz wzór funkcji
b) oblicz współrzędne punktów wspólnych wykresów funkcji i
c) naszkicuj wykresy funkcji oraz . Sprawdź wykonując odpowiednie obliczenia czy punkt należy do wykresów funkcji oraz
d) wykorzystując wykresy funkcji oraz odczytaj, dla jakich argumentów spełniona jest nierówność
12. Dla jakich wartości parametrów m i p parabole określone równaniami
przecinają oś OX w tych samych dwóch punktach ? Wyznacz odległość wierzchołków tych parabol.
13. Jakie nierówności powinna spełniać liczba m, aby pierwiastki równania spełniały
nierówność .
14. Dana jest funkcja postaci : (m-2)x2+2mx+4m-1
a) wyznaczyć zbiór wartości tej funkcji wiedząc, że prosta o równaniu x = -2 jest osią symetrii jej wykresu
b) obliczyć sumę kwadratów pierwiastków równania f(x)=0 wiedząc , że suma tych pierwiastków równa się
15. Dla jakich wartości parametru m równanie ma więcej niż trzy pierwiastki ?
16. Zbadaj liczbę pierwiastków równania
w zależności od parametru m. Naszkicuj wykres funkcji, która parametrowi m przyporządkowuje liczbę pierwiastków danego
równania.
17. Czy istnieją takie wartości parametru m , dla których równanie ma :
(a) dwa różne pierwiastki różnych znaków
(b) dwa różne pierwiastki tych samych znaków
(c) dwa różne pierwiastki ujemne
18. Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór wszystkich punktów (p,q), dla których równanie :
ma dwa rozwiązania takie, że
19. Dla jakich rzeczywistych wartości parametru p równanie posiada dokładnie trzy różne
rozwiązania rzeczywiste, z których jedno jest średnią arytmetyczną pozostałych ?
20. Dane jest równanie : . Dla jakich wartości parametru m pierwiastki tego równania są zawarte
między –2 i 4 ?
wykres funkcji przyporządkowującej każdej rzeczywistej wartości m ilość rozwiązań powyższego równania.
2. Zbadaj liczbę rozwiązań równania : . Narysuj wykres funkcji h(m), która to
przyporządkowuje każdemu rzeczywistemu m podwojoną liczbę rozwiązań.
3. Znajdź zbiór rozwiązań nierówności w zależności od parametru m .
4. Zbadać liczbę pierwiastków równania : , w zależności od wartości parametru k.
5. Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych :
6. Dla jakich wartości k zbiorem wartości funkcji : jest zbiór
7. Zbadaj liczbę rozwiązań w zależności od parametru p :
8. Zbadaj dla jakich wartości parametru m wartości funkcji :
są dla każdego x mniejsze od odpowiednich wartości funkcji ?
9. Narysuj wykres funkcji . Odczytaj z wykresu ilość rozwiązań równania w zależności od
wartości parametru m.
10. Sprawdź czy istnieje takie k, dla którego iloczyn kwadratów pierwiastków równania :
jest równy sumie tych pierwiastków.
11. Funkcja kwadratowa osiąga wartość najmniejszą równą - 4 dla argumentu 6, a liczba 2 jest
miejscem zerowym funkcji . Wykres funkcji liniowej jest prostopadły do prostej o równaniu
i przechodzi przez punkt .
a) wyznacz wzór funkcji w postaci kanonicznej oraz wzór funkcji
b) oblicz współrzędne punktów wspólnych wykresów funkcji i
c) naszkicuj wykresy funkcji oraz . Sprawdź wykonując odpowiednie obliczenia czy punkt należy do wykresów funkcji oraz
d) wykorzystując wykresy funkcji oraz odczytaj, dla jakich argumentów spełniona jest nierówność
12. Dla jakich wartości parametrów m i p parabole określone równaniami
przecinają oś OX w tych samych dwóch punktach ? Wyznacz odległość wierzchołków tych parabol.
13. Jakie nierówności powinna spełniać liczba m, aby pierwiastki równania spełniały
nierówność .
14. Dana jest funkcja postaci : (m-2)x2+2mx+4m-1
a) wyznaczyć zbiór wartości tej funkcji wiedząc, że prosta o równaniu x = -2 jest osią symetrii jej wykresu
b) obliczyć sumę kwadratów pierwiastków równania f(x)=0 wiedząc , że suma tych pierwiastków równa się
15. Dla jakich wartości parametru m równanie ma więcej niż trzy pierwiastki ?
16. Zbadaj liczbę pierwiastków równania
w zależności od parametru m. Naszkicuj wykres funkcji, która parametrowi m przyporządkowuje liczbę pierwiastków danego
równania.
17. Czy istnieją takie wartości parametru m , dla których równanie ma :
(a) dwa różne pierwiastki różnych znaków
(b) dwa różne pierwiastki tych samych znaków
(c) dwa różne pierwiastki ujemne
18. Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór wszystkich punktów (p,q), dla których równanie :
ma dwa rozwiązania takie, że
19. Dla jakich rzeczywistych wartości parametru p równanie posiada dokładnie trzy różne
rozwiązania rzeczywiste, z których jedno jest średnią arytmetyczną pozostałych ?
20. Dane jest równanie : . Dla jakich wartości parametru m pierwiastki tego równania są zawarte
między –2 i 4 ?
1. Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory :
2. (a) Narysuj wykres funkcji
(b) W układzie współrzędnych zaznacz zbiory gdzie
(c) Oblicz pole figury
3. W układzie współrzędnych zaznacz zbiory , gdzie
4. Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej dla . Naszkicuj wykresy funkcji :
(a) y=-f(x)
(b) y=2f(x)
(c) y=-2+f(x)
(d) y=f(x-2)
(e) y=f(2-x)
(f) y=f(x)
(g) y=f(x)
5. Znajdź wzory funkcji , jeśli . Znajdź wzór funkcji odwrotnej do f.
6. Rozwiąż równanie gdzie
7. Dane są funkcje . Wyznacz wszystkie argumenty x, dla których . Dla
wyznaczonych x przedstaw na rysunku figurę F złożoną ze wszystkich takich punktów (x,y) , że :
8. Wyznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają nierówność :
9. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiory , ,
a następnie znajdź :
10. Przedsiębiorstwo transportowe dysponuje 20 wywrotkami o ładowności 3t oraz 14 wywrotkami o ładowności 5t. Mniejsza
wywrotka zużywa 18l paliwa na 100 km , większa – 20l paliwa na 100 km . Klient zlecił przewiezienie 100t piachu na
odległość 100 km. Jakie wywrotki należy wysłać aby zminimalizować koszt paliwa.
11. Bolek wybrał się po zakup zeszytów. Potrzebne mu zeszyty były w cenie 2,40 zł za zeszyt w kratkę i 2 zł za zeszyt w linię.
Romek potrzebuje co najmniej 10 zeszytów w kratkę i 10 zeszytów w linię. Ile co najwyżej zeszytów może kupić Tomek za
60 zł.
12. Funkcja jest różnowartościowa , czy funkcja g jest także różnowartościowa? Uzasadnij .
(a) (b)
13. Dane są funkcje , . Określ parzystość funkcji h i k , jeżeli wiadomo, że :
(a) f i g są parzyste (b) f i g są nieparzyste
14. Funkcja okresowa ma okres podstawowy 4. Naszkicuj wykres tej funkcji, jeżeli dla funkcja ta dana jest wzorem :
(a) (b)
Czy funkcja f jest monotoniczna w przedziale <-2,2). Jeśli nie to podaj przedział w jakim jest monotoniczna. Czy funkcja
okresowa może być monotoniczna dla ?. Odpowiedź uzasadnij.
2. (a) Narysuj wykres funkcji
(b) W układzie współrzędnych zaznacz zbiory gdzie
(c) Oblicz pole figury
3. W układzie współrzędnych zaznacz zbiory , gdzie
4. Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej dla . Naszkicuj wykresy funkcji :
(a) y=-f(x)
(b) y=2f(x)
(c) y=-2+f(x)
(d) y=f(x-2)
(e) y=f(2-x)
(f) y=f(x)
(g) y=f(x)
5. Znajdź wzory funkcji , jeśli . Znajdź wzór funkcji odwrotnej do f.
6. Rozwiąż równanie gdzie
7. Dane są funkcje . Wyznacz wszystkie argumenty x, dla których . Dla
wyznaczonych x przedstaw na rysunku figurę F złożoną ze wszystkich takich punktów (x,y) , że :
8. Wyznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają nierówność :
9. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiory , ,
a następnie znajdź :
10. Przedsiębiorstwo transportowe dysponuje 20 wywrotkami o ładowności 3t oraz 14 wywrotkami o ładowności 5t. Mniejsza
wywrotka zużywa 18l paliwa na 100 km , większa – 20l paliwa na 100 km . Klient zlecił przewiezienie 100t piachu na
odległość 100 km. Jakie wywrotki należy wysłać aby zminimalizować koszt paliwa.
11. Bolek wybrał się po zakup zeszytów. Potrzebne mu zeszyty były w cenie 2,40 zł za zeszyt w kratkę i 2 zł za zeszyt w linię.
Romek potrzebuje co najmniej 10 zeszytów w kratkę i 10 zeszytów w linię. Ile co najwyżej zeszytów może kupić Tomek za
60 zł.
12. Funkcja jest różnowartościowa , czy funkcja g jest także różnowartościowa? Uzasadnij .
(a) (b)
13. Dane są funkcje , . Określ parzystość funkcji h i k , jeżeli wiadomo, że :
(a) f i g są parzyste (b) f i g są nieparzyste
14. Funkcja okresowa ma okres podstawowy 4. Naszkicuj wykres tej funkcji, jeżeli dla funkcja ta dana jest wzorem :
(a) (b)
Czy funkcja f jest monotoniczna w przedziale <-2,2). Jeśli nie to podaj przedział w jakim jest monotoniczna. Czy funkcja
okresowa może być monotoniczna dla ?. Odpowiedź uzasadnij.
1. Rozwiąż układ równań i podaj interpretację geometryczną :
2. Zbadaj liczbę rozwiązań układu w zależności od parametru m :
3. Zbadaj liczbę rozwiązań w zależności od parametru m:
Dla jakich wartości m rozwiązaniem jest : (a) para liczb dodatnich (b) para liczb o tych samych znakach
(c) para liczb o przeciwnych znakach.
4. Rozwiąż układ równań
i przeprowadź dyskusję istnienia rozwiązań ze względu na parametry a i m.
5. Dla jakich wartości parametru m układ równań :
jest spełniony przez taką parę (x,y), że
6. Dla jakich wartości parametru k rozwiązaniem układu równań :
jest para liczb (x,y) spełniających warunek : ?
7. Dany jest układ równań :
Dla jakich wartości parametru m, rozwiązaniem tego układu jest para liczb (x,y) spełniających warunek
?
8. W układzie współrzędnych dane są proste k: oraz l: . Czy
istnieją takie wartości parametru m aby :
(a) punkt będący rozwiązaniem układu należał do okręgu o równaniu
(b) koła którego obwodem jest okrąg z punktu (a)
9. Na płaszczyźnie dane są proste k : oraz l : . Czy istnieją takie
wartości a i m , aby punkt przecięcia tych prostych należał
(a) do obwodu kwadratu o wierzchołkach
(b) do wnętrza kwadratu z punktu (a)
10. Para liczb (x,y), gdzie , jest rozwiązaniem układu równań :
Narysuj wykres funkcji .
11. Rozwiąż układ równań: . Dla jakich m rozwiązanie tego układu spełnia nierówność :
2. Zbadaj liczbę rozwiązań układu w zależności od parametru m :
3. Zbadaj liczbę rozwiązań w zależności od parametru m:
Dla jakich wartości m rozwiązaniem jest : (a) para liczb dodatnich (b) para liczb o tych samych znakach
(c) para liczb o przeciwnych znakach.
4. Rozwiąż układ równań
i przeprowadź dyskusję istnienia rozwiązań ze względu na parametry a i m.
5. Dla jakich wartości parametru m układ równań :
jest spełniony przez taką parę (x,y), że
6. Dla jakich wartości parametru k rozwiązaniem układu równań :
jest para liczb (x,y) spełniających warunek : ?
7. Dany jest układ równań :
Dla jakich wartości parametru m, rozwiązaniem tego układu jest para liczb (x,y) spełniających warunek
?
8. W układzie współrzędnych dane są proste k: oraz l: . Czy
istnieją takie wartości parametru m aby :
(a) punkt będący rozwiązaniem układu należał do okręgu o równaniu
(b) koła którego obwodem jest okrąg z punktu (a)
9. Na płaszczyźnie dane są proste k : oraz l : . Czy istnieją takie
wartości a i m , aby punkt przecięcia tych prostych należał
(a) do obwodu kwadratu o wierzchołkach
(b) do wnętrza kwadratu z punktu (a)
10. Para liczb (x,y), gdzie , jest rozwiązaniem układu równań :
Narysuj wykres funkcji .
11. Rozwiąż układ równań: . Dla jakich m rozwiązanie tego układu spełnia nierówność :
Co to jest?
Matematyka (gr. mathēmatik z máthēma – poznanie, umiejętność) – nauka skupiona na rozumowaniu dedukcyjnym, czyli dostarczająca narzędzi do badania wniosków z przyjętych założeń[1]. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.
Wiele dziedzin nauki i technologii, po uzyskaniu pewnego stopnia dojrzałości, zaczyna definiować swoje pojęcia z dostatecznie dużą precyzją, aby można było stosować do nich metody matematyczne, co często zapoczątkowuje kolejny dział matematyki teoretycznej lub stosowanej. Tak stało się np. z mechaniką klasyczną, mechaniką statystyczną, ekonomią (ekonometria), lingwistyką (lingwistyka matematyczna), teorią gier, a nawet niektórymi działami politologii (teoria głosowań). Leonardo da Vinci stwierdził "Żadne ludzkie badania nie mogą być nazywane prawdziwą nauką, jeśli nie mogą być zademonstrowane matematycznie."[2]
Matematyka teoretyczna (nazywana czasami matematyką czystą) jest często rozwijana bez związku z konkretnymi zastosowaniami. W tej odmianie jest ona przez niektórych matematyków uważana za formę sztuki[3]. Jednak niektóre działy matematyki teoretycznej znalazły swoje praktyczne zastosowanie, kiedy okazało się, że potrzebuje ich nowoczesna fizyka lub informatyka. Szkolne rozumienie matematyki, jako nauki wyłącznie o liczbach i pojęciach geometrycznych, zdezaktualizowało się już w XIX wieku wraz z postępami algebry i teorii mnogości. Matematyka wchłonęła także logikę.
Wiele dziedzin nauki i technologii, po uzyskaniu pewnego stopnia dojrzałości, zaczyna definiować swoje pojęcia z dostatecznie dużą precyzją, aby można było stosować do nich metody matematyczne, co często zapoczątkowuje kolejny dział matematyki teoretycznej lub stosowanej. Tak stało się np. z mechaniką klasyczną, mechaniką statystyczną, ekonomią (ekonometria), lingwistyką (lingwistyka matematyczna), teorią gier, a nawet niektórymi działami politologii (teoria głosowań). Leonardo da Vinci stwierdził "Żadne ludzkie badania nie mogą być nazywane prawdziwą nauką, jeśli nie mogą być zademonstrowane matematycznie."[2]
Matematyka teoretyczna (nazywana czasami matematyką czystą) jest często rozwijana bez związku z konkretnymi zastosowaniami. W tej odmianie jest ona przez niektórych matematyków uważana za formę sztuki[3]. Jednak niektóre działy matematyki teoretycznej znalazły swoje praktyczne zastosowanie, kiedy okazało się, że potrzebuje ich nowoczesna fizyka lub informatyka. Szkolne rozumienie matematyki, jako nauki wyłącznie o liczbach i pojęciach geometrycznych, zdezaktualizowało się już w XIX wieku wraz z postępami algebry i teorii mnogości. Matematyka wchłonęła także logikę.
Matematyka
Matematyka na egzaminie maturalnym
Według zasad, obowiązujących od 2005 roku, egzamin z matematyki jest jednym z przedmiotów, które maturzysta może wybrać jako obowiązkowy.
Dozwolone pomoce podczas egzaminu
Kalkulator prosty
Linijka, cyrkiel, ekierka
Tablice ze wzorami (opublikowanymi przez Centralną Komisję Egzaminacyjną)
Specyfika egzaminu
Egzamin można zdawać tylko na jednym poziomie: podstawowym albo rozszerzonym (wg nowych przepisów - w latach 2005 i 2006 abiturienci zdający matematykę pisali obowiązkowo poziom podstawowy, a następnie opcjonalnie poziom rozszerzony).
Na poziomie podstawowym zdający może zdobyć maksymalnie 50 punktów. W zależności od arkusza należy rozwiązać od 9 do 12 zadań (różnie punktowanych) - aby uzyskać 100% należy poprawnie wykonać wszystkie zadania z arkusza. Ze względu na czas pracy (około 10 minut na jedno zadanie) nie są one złożone i wymagają zastosowania podstawowych wzorów i umiejętności (zazwyczaj wszystkie potrzebne informacje znajdują się w tablicy wzorów).
Część rozszerzona egzaminu przeznaczona jest głównie dla uczniów, którzy realizowali rozszerzony program z matematyki. Czas pracy to 180 minut (do wykonania jest od 8-10 zadań w zależności od arkusza). Zadania obejmują zakres, który nie jest realizowany w podstawowym programie nauczania (np. geometria analityczna, logarytmy). Liczba możliwych punktów do zdobycia z tej części to 50, aby uzyskać 100% należy rozwiązać wszystkie zadania. Od 2007 roku część rozszerzona zawiera także pewien odsetek zadań na poziomie podstawowym.
Wg rozporządzenia podpisanego w dniu 30 marca 2007, od roku szkolnego 2009/2010 matematyka będzie jednym z obowiązkowych przedmiotów maturalnych.
Przypisy
Wg wyjaśnienia CKE [1] Kalkulator prosty – jest to kalkulator, który umożliwia wykonanie tylko najprostszych działań matematycznych: dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia. Można też z jego pomocą obliczać procenty lub pierwiastki kwadratowe z liczb.
Źródło: "http://pl.wikipedia.org/wiki/Matematyka_na_egzaminie_maturalnym"
Według zasad, obowiązujących od 2005 roku, egzamin z matematyki jest jednym z przedmiotów, które maturzysta może wybrać jako obowiązkowy.
Dozwolone pomoce podczas egzaminu
Kalkulator prosty
Linijka, cyrkiel, ekierka
Tablice ze wzorami (opublikowanymi przez Centralną Komisję Egzaminacyjną)
Specyfika egzaminu
Egzamin można zdawać tylko na jednym poziomie: podstawowym albo rozszerzonym (wg nowych przepisów - w latach 2005 i 2006 abiturienci zdający matematykę pisali obowiązkowo poziom podstawowy, a następnie opcjonalnie poziom rozszerzony).
Na poziomie podstawowym zdający może zdobyć maksymalnie 50 punktów. W zależności od arkusza należy rozwiązać od 9 do 12 zadań (różnie punktowanych) - aby uzyskać 100% należy poprawnie wykonać wszystkie zadania z arkusza. Ze względu na czas pracy (około 10 minut na jedno zadanie) nie są one złożone i wymagają zastosowania podstawowych wzorów i umiejętności (zazwyczaj wszystkie potrzebne informacje znajdują się w tablicy wzorów).
Część rozszerzona egzaminu przeznaczona jest głównie dla uczniów, którzy realizowali rozszerzony program z matematyki. Czas pracy to 180 minut (do wykonania jest od 8-10 zadań w zależności od arkusza). Zadania obejmują zakres, który nie jest realizowany w podstawowym programie nauczania (np. geometria analityczna, logarytmy). Liczba możliwych punktów do zdobycia z tej części to 50, aby uzyskać 100% należy rozwiązać wszystkie zadania. Od 2007 roku część rozszerzona zawiera także pewien odsetek zadań na poziomie podstawowym.
Wg rozporządzenia podpisanego w dniu 30 marca 2007, od roku szkolnego 2009/2010 matematyka będzie jednym z obowiązkowych przedmiotów maturalnych.
Przypisy
Wg wyjaśnienia CKE [1] Kalkulator prosty – jest to kalkulator, który umożliwia wykonanie tylko najprostszych działań matematycznych: dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia. Można też z jego pomocą obliczać procenty lub pierwiastki kwadratowe z liczb.
Źródło: "http://pl.wikipedia.org/wiki/Matematyka_na_egzaminie_maturalnym"
Subskrybuj:
Komentarze (Atom)